7. Zadatak

Vlak izgleda ovako:

• prvi vagon ima jedan odjeljak s $1\cdot2$ sjedišta;

• drugi vagon ima: prvi odjeljak s $1\cdot2$ sjedišta, drugi odjeljak s $1\cdot2+2\cdot2=3\cdot2$ sjedišta;

• treći vagon ima: prvi odjeljak s $1\cdot2$ sjedišta, drugi odjeljak s $3\cdot2$ sjedišta, treći odjeljak s $5\cdot2$ sjedišta itd.

• $n$-ti vagon ima: $n$ odjeljaka s

$$S_n=1\cdot2+3\cdot2+5\cdot2+7\cdot2+\dots+(2n-1)\cdot2$$

sjedišta

$$S_n=2\cdot(1+3+5+7+\dots+(2n-1)).$$

Zbroj prvih $n$ neparnih prirodnih brojeva možemo izračunati grupiranjem članova

$$\begin{aligned} 1+3+5+7+\dots+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) &=(1+2n-1)+(3+2n-3)+(5+2n-5)\\ &\quad+\dots+(2n-3+3)+(2n-1+1)\\ &=2n+2n+2n+\dots+2n+2n\\ &=2n\cdot\frac n2=n^2. \end{aligned}$$

Broj putnika u $n$-tom vagonu biti će $S_n=2n^2$.

Deseti vagon ima 10 odjeljaka, a broj putnika u tom vagonu je

$$S_{10}=1\cdot2+3\cdot2+5\cdot2+7\cdot2+\dots+(2\cdot10-1)\cdot2 =2\cdot10^2=200.$$