2. Zadatak

Da bismo riješili ovu nejednadžbu moramo riješiti sljedeće dvije jednostavnije nejednadžbe:

$$-2009\leq\bigl||9-x|-x\bigr|+2x\leq2009,\quad\text{tj.}$$ $$-2009-2x\leq\bigl||9-x|-x\bigr|\leq2009-2x.$$

Moramo promatrati dva slučaja:

$1^\circ\quad9-x\leq0$ tj. $x\geq9$,

$2^\circ\quad9-x>0$ tj. $x<9$.

$1^\circ$ U ovom slučaju imamo:

$$\begin{gathered}-2009-2x\leq|x-9-x|\leq2009-2x,\\-2018\leq2x\leq2000,\\-1009\leq x\leq1000,\end{gathered}$$

odakle imamo $x\in[9,1000]$

$2^\circ$ Sada je

$$-2009-2x\leq|9-2x|\leq2009-2x,$$

pa imamo ova dva slučaja:

$2^\circ a\quad9-2x\leq0$ tj. $x\geq\dfrac92$ tj. $x\in\left[\dfrac92,9\right\rangle$,

$2^\circ b\quad9-2x>0$ tj. $x<\dfrac92$.

$2^\circ a$

$$\begin{gathered}-2009-2x\leq2x-9\leq2009-2x,\\-2000\leq4x\leq2018,\\-500\leq x\leq\frac{1009}2,\end{gathered}$$

odakle je $x\in\left[\dfrac92,9\right\rangle$.

$2^\circ b$

$$-2009-2x<9-2x<2009-2x\quad\text{tj.}\quad-2018<2000.$$

Kako je ova nejednakost uvijek zadovoljena dobivamo $x\in\left\langle-\infty,\dfrac92\right\rangle$.

Konačno rješenje je $x\in\langle-\infty,1000]$.