4. Zadatak

Prvo rješenje. Kako je $a^2+b^2=1$ ne mogu istovremeno $a$ i $b$ biti jednaki 0. Neka je $a\neq0$.

Iz treće jednakosti imamo $c=-\dfrac{bd}a$. Tada je

$$1=c^2+d^2=\frac{b^2d^2}{a^2}+d^2=\frac{d^2(a^2+b^2)}{a^2}=\frac{d^2}{a^2}$$

odakle imamo $a^2=d^2$. Sada je

$$ab+cd=ab-\frac{bd^2}a=\frac ba(a^2-d^2)=0.$$

Drugo rješenje. Dobivamo

$$\begin{aligned}0&=(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd\\&=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)\\&=ab+cd.\end{aligned}$$