3. Zadatak

Dužina $\overline{PQ}$ je srednjica trokuta $ABC$ pa je $|PQ|=\dfrac12|AB|=6$ cm.

Točka $D$ je polovište stranice $\overline{AB}$. Primjenom Pitagorinog poučka imamo

$$|CD|=\sqrt{|BC|^2-|BD|^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ cm}.$$

Točka $Q$ je polovište kraka $\overline{BC}$ pa je $|BQ|=|CQ|=5$ cm.

Iz sličnosti trokuta $BDC$ i $BRQ$ imamo $\dfrac{|CD|}{|QR|}=\dfrac{|BD|}{|BR|}=\dfrac21$ odakle je $|QR|=\dfrac{|CD|}2=4$ cm. Četverokut $SRQP$ je pravokutnik i $|SR|=|PQ|=6$ cm. Duljina njegove dijagonale je

$$|SQ|=\sqrt{|SR|^2+|QR|^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}.$$

Iz $P_{SRQ}=\dfrac12P_{SRQP}$ imamo $|RN|=|PM|=\dfrac{P_{SRQP}}{|SQ|}=\dfrac{|SR|\cdot|QR|}{|SQ|}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$.

Nadalje, po Pitagorinom poučku je $|NQ|=\sqrt{|QR|^2-|RN|^2}=\sqrt{16-\dfrac{144}{13}}=\dfrac{8\sqrt{13}}{13}$.

Radi simetrije je $|SM|=|NQ|$ pa imamo $|MN|=|SQ|-2|NQ|=\dfrac{10\sqrt{13}}{13}$.

Tražena udaljenost nožišta je $|MN|=\dfrac{10\sqrt{13}}{13}$ cm.