5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $ABCD$ osnovka piramide, a $N$ nožište visine iz vrha $V$.

Pobočka piramide je jednakokračni trokut $ABV$. Primjenom poučka o kosinusu slijedi

$$|AB|^2=2|AV|^2-2|AV|^2\cos\angle AVB=2|AV|^2-\frac32|AV|^2=\frac12|AV|^2$$

pa je $|AV|^2=2|AB|^2$.

Nadalje,

$$|AN|=\frac{\sqrt{2}}{2}|AB|.$$

U poprečnom presjeku piramide promotrimo trokute $ANV$ i $ANS$, gdje je točka $S$ središte, a $R$ polumjer kugle.

Iz pravokutnog trokuta $ANV$ izrazimo visinu piramide $VN$:

$$|VN|^2=|AV|^2-|AN|^2=2|AB|^2-\frac12|AB|^2=\frac32|AB|^2,$$

odnosno

$$|VN|=\frac{\sqrt{6}}{2}|AB|.$$

Primijenimo Pitagorin poučak u pravokutnom trokutu $ANS$. Redom dobivamo

$$|AN|^2+|NS|^2=|AS|^2$$ $$\frac12|AB|^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}|AB|-R\right)^2=R^2$$ $$\frac12|AB|^2+\frac32|AB|^2-\sqrt{6}|AB|\cdot R+R^2=R^2$$

Sređivanjem izraza dobivamo

$$|AB|=\frac{\sqrt{6}}{2}R.$$

Konačno,

$$|VN|=\frac{\sqrt{6}}{2}|AB|=\frac32R.$$

Drugo rješenje.

Neka je $ABCD$ osnovka piramide, a $N$ nožište visine iz vrha $V$.

Pobočka piramide je jednakokračni trokut $ABV$. Neka je $a=|AB|$, $b=|AV|$.

Kao i u prvom rješenju, duljinu brida $AV$ odredit ćemo koristeći poučak o kosinusu:

$$a^2=2b^2-2b^2\cos\angle AVB=2b^2-\frac32b^2=\frac12b^2$$

pa je

$$b^2=2a^2,\qquad\text{odnosno}\qquad b=a\sqrt{2}.$$

U poprečnom presjeku piramide promotrimo trokute $ANV$ i $ANS$, gdje je točka $S$ središte, a $|SV|$ polumjer kugle.

Primijenimo Pitagorin poučak na trokute $ANV$ i $ANS$.

$$(R+x)^2+\frac12a^2=2a^2,\qquad\text{odnosno}\qquad (R+x)^2=\frac32a^2$$ $$x^2+\frac12a^2=R^2.$$

Ako iz prve jednadžbe izrazimo $a^2$ i uvrstimo u drugu jednadžbu, dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$x^2+\frac13(R+x)^2=R^2,\qquad\text{odnosno}\qquad 2x^2+Rx-R^2=0.$$

Pozitivno rješenje ove jednadžbe jest

$$x=\frac{R}{2}.$$

Konačno, visina piramide jest

$$|VN|=R+\frac{R}{2}=\frac32R.$$