1. Zadatak

Izraz logaritmiramo:

$$\log_{2021}\left(\sqrt{2021}\,x^{\log_{2021}x}\right)=\log_{2021}x^2,$$ $$\log_{2021}\sqrt{2021}+\log_{2021}x^{\log_{2021}x}=\log_{2021}x^2,$$ $$\frac12+(\log_{2021}x)^2=2\log_{2021}x.$$

Supstitucijom $\log_{2021}x=t$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $2t^2-4t+1=0$ čija su rješenja

$$t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}.$$

Rješenja početne jednadžbe su

$$x_1=2021^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\quad\text{i}\quad x_2=2021^{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}.$$

Sada je

$$x_1\cdot x_2=2021^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}\cdot2021^{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=2021^2.$$

Napomena:

Do umnoška rješenja može se doći i koristeći Vieteove formule, odnosno ako je zbroj rješenja dobivene kvadratne jednadžbe

$$t_1+t_2=-\frac{b}{a}=2$$

onda je

$$\log_{2021}x_1+\log_{2021}x_2=\log_{2021}(x_1x_2)=2.$$

Stoga je $x_1x_2=2021^2$.