4. Zadatak

Izrazimo vektor $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$, pri čemu je $\overrightarrow{AD}=\frac37\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DE}=\frac47(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac47\overrightarrow{AC}$.

Uvrstimo pa je

$$\overrightarrow{AE}=\frac37\overrightarrow{AB}+\frac47\overrightarrow{AC}.$$

Vektori $\overrightarrow{AE}$ i $\overrightarrow{AP}$ su kolinearni pa je

$$\overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AE}=\alpha\left(\frac37\overrightarrow{AB}+\frac47\overrightarrow{AC}\right),$$

odnosno

$$\overrightarrow{AP}=\frac37\alpha\overrightarrow{AB}+\frac47\alpha\overrightarrow{AC}.\tag{2}$$

Izrazimo vektor $\overrightarrow{AP}$ na drugi način.

$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP},$$

pri čemu je $\overrightarrow{CP}=\beta\overrightarrow{CD}$ i

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac37\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$$

Uvrštavanjem dobijemo

$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\beta\left(\frac37\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right),$$

odnosno

$$\overrightarrow{AP}=\frac37\beta\overrightarrow{AB}+(1-\beta)\overrightarrow{AC}.\tag{3}$$

Iz dva zapisa vektora $\overrightarrow{AP}$ (2) i (3) slijedi sustav:

$$\begin{aligned} \alpha&=\beta,\\ \frac47\alpha&=1-\beta. \end{aligned}$$

Rješenje sustava je $\alpha=\beta=\frac7{11}$.

Konačno,

$$\overrightarrow{AP}=\frac3{11}\overrightarrow{AB}+\frac4{11}\overrightarrow{AC}.$$