3. Zadatak

Kako jednakost $x\cdot P(x-1)=(x-2023)\cdot P(x)$ vrijedi za sve realne brojeve $x$ uvrštavanjem $x=0$ dobivamo $0\cdot P(-1)=-2023\cdot P(0)$, odakle slijedi da je $P(0)=0$. Nadalje, za $x=1$ dobivamo $1\cdot P(0)=-2022\cdot P(1)$, odakle slijedi da je $P(1)=0$. Uvrštavanjem $x=2$ u zadanu jednakost dobivamo $2\cdot P(1)=-2021\cdot P(2)$, odakle je i $P(2)=0$.

Induktivno, za $x=2022$ dobivamo da je $2022\cdot P(2021)=-1\cdot P(2022)$, pa je $P(2022)=0$.

Kako su $0,1,2,\ldots,2022$ nultočke polinoma $P$, polinom $P$ možemo pisati u obliku $P(x)=x\cdot(x-1)(x-2)\cdots(x-2022)\cdot Q(x)$, za neki polinom $Q$.

Uvrstimo li sada ovaj raspis polinoma $P$ u početnu jednakost, dobivamo

$$x(x-1)(x-2)\cdots(x-2022)(x-2023)Q(x-1)=(x-2023)x(x-1)(x-2)\cdots(x-2022)Q(x),$$

odakle slijedi da je $Q(x-1)=Q(x)$ za sve realne brojeve $x$. Jedini polinomi s ovim svojstvom su konstante. Stoga je $Q(x)=c$, za neki $c\in\mathbb R$.

Svi polinomi s traženim svojstvom su oblika

$$P(x)=c\cdot x\cdot(x-1)(x-2)\cdots(x-2022),\qquad c\in\mathbb R.$$