2. Zadatak

Kako baza logaritma ovisi o $x$ trebamo razmotriti slučajeve $x^2-4>1$ i $0<x^2-4<1$. U prvom je slučaju logaritamska funkcija rastuća, a u drugom padajuća.

Prvi slučaj.

Ako je $x^2-4>1$, onda je

$$x\in\langle-\infty,-\sqrt5\rangle\cup\langle\sqrt5,+\infty\rangle.\tag{$\star$}$$

Izraz pod korijenom mora biti nenegativan, tj. $\log_{x^2-4}(x^2-4x+3)\geq0$, odnosno $x^2-4x+2\geq0$, odakle je

$$x\in\langle-\infty,2-\sqrt2]\cup[2+\sqrt2,+\infty\rangle.\tag{$\star\star$}$$

Konačno, logaritamska funkcija je definirana za pozitivne vrijednosti pa mora vrijediti $x^2-4x+3>0$, no taj je uvjet ispunjen čim vrijedi $(\star\star)$. Dakle, rješenje prvog slučaja je presjek uvjeta $(\star)$ i $(\star\star)$, a to je

$$x\in\langle-\infty,-\sqrt5\rangle\cup[2+\sqrt2,+\infty\rangle.$$

Drugi slučaj.

Sada je $0<x^2-4<1$, odakle je $2<|x|<\sqrt5$, tj.

$$x\in\langle-\sqrt5,-2\rangle\cup\langle2,\sqrt5\rangle.\tag{$\triangle$}$$

Logaritamska funkcija je definirana za pozitivne vrijednosti, pa mora biti $x^2-4x+3>0$, tj.

$$x\in\langle-\infty,1\rangle\cup\langle3,+\infty\rangle.\tag{$\triangle\triangle$}$$

Nadalje, izraz pod korijenom mora biti nenegativan, pa je $\log_{x^2-4}(x^2-4x+3)\geq0$, tj. $x^2-4x+2\leq0$. Rješenje ove nejednadžbe je

$$x\in[2-\sqrt2,2+\sqrt2].\tag{$\triangle\triangle\triangle$}$$

Presjek uvjeta $(\triangle)$, $(\triangle\triangle)$ i $(\triangle\triangle\triangle)$ je prazan pa je rješenje drugog slučaja prazan skup.

Domena funkcije je dakle

$$\mathcal D_f=\langle-\infty,-\sqrt5\rangle\cup[2+\sqrt2,+\infty\rangle.$$