6. Zadatak

Prvo rješenje.

Točka $P$ polovište je dužine $\overline{AD}$ pa je $|AD|=|BC|=2|AP|=18\text{ cm}$.

Točka $S$ sjecište je dijagonala $\overline{BD}$ i $\overline{AC}$ pravokutnika $ABCD$. To znači da je točka $S$ polovište dužine $\overline{BD}$ pa zaključujemo da su dužine $\overline{BP}$ i $\overline{AS}$ težišnice trokuta $ABD$.

Tada je točka $T$ težište trokuta $ABD$.

Težište trokuta dijeli težišnicu u omjeru $2:1$ gledajući od vrha trokuta. Stoga je:

$$|BT|=\frac23|BP|,$$

odnosno, $10=\dfrac23|BP|\text{ cm}$, pa je $|BP|=15\text{ cm}$.

Prema Pitagorinom poučku u trokutu $ABP$ vrijedi:

$$|BP|^2=|AB|^2+|AP|^2$$

pa je $|AB|=12\text{ cm}$.

Prema Pitagorinom poučku u trokutu $ABD$ (ili $ABC$) vrijedi

$$|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2$$

pa je $|BD|=|AC|=\sqrt{468}=6\sqrt{13}\text{ cm}$.

Središte pravokutniku opisane kružnice nalazi se u sjecištu dijagonala $S$ i $2r=|BD|$ pa je $r=3\sqrt{13}\text{ cm}$.

Površina kruga opisanoga pravokutniku je $P_K=r^2\pi=117\pi\text{ cm}^2$.

Površina pravokutnika je $P_P=|AB|\cdot|AD|=216\text{ cm}^2$.

Površina osjenčanoga dijela je

$$P=\frac12(P_K-P_P)=\frac12(117\pi-216)\text{ cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Točka $P$ polovište je dužine $\overline{AD}$ pa je $|AD|=|BC|=2|AP|=18\text{ cm}$.

Uočimo sličnost trokuta $ATP$ i $CTB$. Kutovi oba trokuta s vrhom u točki $T$ vršni su kutovi, a kutovi $\angle PAT$ i $\angle BCT$ kutovi su s paralelnim kracima. Navedeni su trokuti slični prema poučku KK.

Iz sličnosti slijedi

$$\frac{|PT|}{10}=\frac9{18}=\frac12$$

pa je $|PT|=5\text{ cm}$, a $|BP|=5+10=15\text{ cm}$.

Dalje je postupak kao u prvome rješenju.