5. Zadatak

U novome postavu nekoga muzeja svaki je eksponat numeriran redom brojevima $1,2,3,4,\ldots$ Ako su za numeriranje svih eksponata upotrijebljene ukupno $2022$ znamenke, koliko eksponata ima novi postav muzeja?

Prvo rješenje.

Za numeriranje eksponata brojevima $1,2,\ldots,9$ upotrijebljeno je $9$ znamenki.

Za numeriranje eksponata brojevima $10,11,\ldots,99$ upotrijebljeno je $90\cdot2=180$ znamenki.

To je ukupno $189$ znamenki. Za numeriranje troznamenkastim brojevima upotrijebljeno je $2022-189=1833$ znamenki.

Tada $1833:3=611$ eksponata ima troznamenkasti redni broj.

Novi postav muzeja ima ukupno $9+90+611=710$ eksponata.

Drugo rješenje.

Eksponati numerirani brojevima od $1$ do $9$ označeni su s ukupno $9$ znamenki.

Eksponati numerirani brojevima od $10$ do $99$ označeni su s ukupno $90\cdot2=180$ znamenki.

Ako bi novi postav imao $999$ eksponata ili više, eksponati numerirani brojevima od $100$ do $999$ bili bi numerirani s $3\cdot900=2700$ znamenki, a ukupan broj znamenki kojima je numerirano $999$ eksponata bio bi $9+180+2700=2889$ . Kako je ukupan broj znamenki $2022<2889$ , slijedi da je broj eksponata troznamenkast.

Ako je $n$ broj eksponata i za prvih je $9$ eksponata upotrijebljeno $9$ znamenki, za idućih (dvoznamenkastih) $90$ upotrijebljeno je $180$ znamenki, onda je za preostalih $n-99$ upotrijebljeno $3\cdot(n-99)$ znamenki. Kako je ukupan broj znamenki $2022$ , vrijedi da je

9+180+3\cdot(n-99)=2022,

odnosno, $3\cdot(n-99)=1833$ ,

n-99=611.

Konačno, ukupan broj eksponata je $n=710$ .

Treće rješenje.

eksponati	broj znamenki	ukupno znamenki
$1-9$	$9$	$9$
$10-99$	$2\cdot90=180$	$180+9=189$

Budući da brojevi eksponata od $100$ do $999$ imaju ukupno $3\cdot900=2700$ znamenki što je u ukupnom zbroju više od $2022$ , nadalje promatramo numeriranje po $100$ eksponata.

eksponati	broj znamenki	ukupno znamenki
$100-199$	$3\cdot100=300$	$300+189=489$
$200-299$	$3\cdot100=300$	$300+489=789$
$300-399$	$3\cdot100=300$	$300+789=1089$
$400-499$	$3\cdot100=300$	$300+1089=1389$
$500-599$	$3\cdot100=300$	$300+1389=1689$
$600-699$	$3\cdot100=300$	$300+1689=1989$

Budući da brojevi eksponata od $700$ do $799$ imaju ukupno $3\cdot100=300$ znamenki što je u ukupnom zbroju više od $2022$ , nadalje promatramo numeriranje po $10$ eksponata.

eksponati	broj znamenki	ukupno znamenki
$700-709$	$3\cdot10=30$	$1989+30=2019$

Budući da brojevi eksponata do $709$ imaju ukupno $2019$ znamenki, a do ukupnog broja $2022$ nedostaju samo tri znamenke, posljednji je sljedeći eksponat numeriran brojem $710$ .

Novi postav muzeja ima ukupno $710$ eksponata.