7. Zadatak

Prvo rješenje:

Zapišimo broj $z$ u trigonometrijskom obliku,

$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), \qquad r\ge0,\quad 0\le\varphi<2\pi.$$

Tada iz dane jednadžbe slijedi

$$r^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)+r=0$$

odnosno

$$r(r^2\cos3\varphi+r^2i\sin3\varphi+1)=0.$$

Tada je ili $r=0$ ili

$$r^2\cos3\varphi+r^2i\sin3\varphi+1=0.$$

Ako je $r=0$, $z=0$ je rješenje jednadžbe.

Ako vrijedi druga mogućnost, onda

$$r^2\sin3\varphi=0\quad\text{i}\quad r^2\cos3\varphi+1=0.$$

Iz prve jednakosti slijedi

$$\sin3\varphi=0 \quad\Rightarrow\quad \varphi\in\left\{0,\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\pi,\frac{4\pi}3,\frac{5\pi}3\right\}.$$

Iz druge jednakosti slijedi $r^2\cos3\varphi=-1$, pa je $\cos3\varphi<0$ i

$$\varphi\in\left\{\frac\pi3,\pi,\frac{5\pi}3\right\}, \qquad r=1.$$

Rješenja su

$$z_1=0,$$ $$z_2=1\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},$$ $$z_3=\cos\pi+i\sin\pi=-1,$$ $$z_4=\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.$$

Drugo rješenje:

Označimo kompleksni broj $z=x+iy$. Tada je

$$z^3+|z|=0$$

odnosno

$$(x+iy)^3+|x+iy|=0$$

i

$$x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3+\sqrt{x^2+y^2}=0.$$

Realni i imaginarni dio kompleksnog broja na desnoj strani moraju biti $0$ da bi vrijedila jednakost, pa dobivamo

$$3x^2y-y^3=0 \quad\text{i}\quad x^3-3xy^2+\sqrt{x^2+y^2}=0.$$

Iz prve jednakosti slijedi $y(3x^2-y^2)=0$, pa imamo dva slučaja.

Prvi slučaj: $y=0$. Tada je

$$x^3+\sqrt{x^2}=0$$

odnosno $x^3+|x|=0$. Ova jednadžba ima rješenja $x=0,x=-1$.

Drugi slučaj: Neka je $3x^2-y^2=0$, tj. $y^2=3x^2$. Tada je

$$x^3-3x\cdot3x^2+\sqrt{x^2+3x^2}=0$$

odnosno

$$x^3-9x^3+2|x|=0, \qquad 4x^3-|x|=0.$$

Ako je $x<0$, onda je $4x^3+x=0$, odnosno $4x^2+1=0$, što u skupu $\mathbb R$ nema rješenja.

Ako je $x>0$, onda je $4x^3-x=0$, odnosno $4x^2-1=0$, pa je $x=1/2$.

Sva rješenja su

$$z_1=0,\qquad z_2=-1,\qquad z_3=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},\qquad z_4=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}.$$