7. Zadatak

Sa $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ i $x_5$ označimo brojeve koje su zapisale Lornine prijateljice. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti:

$$\begin{aligned} S_1&=x_1+x_2+x_3+x_4=38,\\ S_2&=x_1+x_2+x_3+x_5=52,\\ S_3&=x_1+x_2+x_4+x_5=57,\\ S_4&=x_1+x_3+x_4+x_5=A,\\ S_5&=x_2+x_3+x_4+x_5=B,\\ S_4,S_5&\in\{38,52,57\}. \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} S&=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5,\\ 4S&=38+52+57+A+B. \end{aligned}$$

Očito je da desna strana jednakosti mora biti broj djeljiva s $4$. Kako je $38+52+57$ neparan broj, jedan od brojeva $A$ ili $B$ mora biti neparan, a drugi paran.

Neka je:

$$A=x_1+x_3+x_4+x_5=57.$$

Sada treba biti $B=38$ ili $B=52$.

Za $B=38$ vrijedi $4S=38+52+57+57+38=242$ što je nemoguće jer broj $242$ nije djeljiv s $4$.

Dakle, $B=x_2+x_3+x_4+x_5=52$.

Sada vrijedi $4S=38+52+57+57+52=256$ pa je $S=64$.

Iz $x_1+x_2+x_3+x_4=38$ slijedi $x_5=S-38=26$.

Analogno iz $x_1+x_2+x_3+x_5=52$ slijedi $x_4=S-52=12$.

Iz $x_1+x_2+x_4+x_5=57$ slijedi $x_3=S-57=7$.

Iz $x_1+x_3+x_4+x_5=57$ slijedi $x_2=S-57=7$.

Iz $x_2+x_3+x_4+x_5=52$ slijedi $x_1=S-52=12$. Dakle, Lornine prijateljice zapisale su brojeve $26$, $12$, $12$, $7$ i $7$.