5. Zadatak

Rješenje 1. Neka je $\overline{abcd}$ traženi broj, pri čemu je $a\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ i $b,c,d\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. S obzirom na to da je $\overline{abcd}+2025$ djeljiv s $3$, a i broj $2025$ djeljiv je s $3$, onda i $\overline{abcd}$ mora biti djeljiv s $3$.

Zbroj znamenki broja $\overline{abcd}$ $(a+b+c+d)$ djeljiv je s $3$ i s $5$.

S obzirom na to da je $d=4a$ slijedi: $a=1$ i $d=4$ ili $a=2$ i $d=8$.

S obzirom na to da je $c=b+6$ slijedi $b=0$ i $c=6$ ili $b=1$ i $c=7$ ili $b=2$ i $c=8$ ili $b=3$ i $c=9$.

Zbroj znamenki broja $1064$ nije djeljiv ni s $3$ ni s $5$.

Zbroj znamenki broja $1174$ nije djeljiv ni s $3$ ni s $5$.

Zbroj znamenki broja $1284$ djeljiv je s $3$ i s $5$.

Zbroj znamenki broja $1394$ nije djeljiv ni s $3$ ni s $5$.

Zbroj znamenki broja $2068$ nije djeljiv ni s $3$ ni s $5$.

Zbroj znamenki broja $2178$ djeljiv je s $3$, ali nije s $5$.

Zbroj znamenki broja $2288$ djeljiv je s $5$, ali nije s $3$.

Zbroj znamenki broja $2398$ nije djeljiv ni s $3$ ni s $5$.

Traženi je broj $1284$.

Rješenje 2. Neka je kao i prije traženi broj $\overline{abcd}$. Kako je $d=4a$ i $c=b+6$, imamo dvije mogućnosti:

1. $a=1,d=4$

   $$a+b+c+d=1+b+b+6+4=11+2b$$

   $a+b+c+d$ djeljivo je s $5$, $2b$ je parno, odnosno $11+2b$ je neparno $\Rightarrow$ završava na $5$ $\Rightarrow$ $2b$ završava na $4$.

2. $a=2,d=8$

   $$a+b+c+d=2+b+b+6+8=16+2b$$

   $a+b+c+d$ djeljivo je s $5$, $2b$ je parno, odnosno $16+2b$ je parno $\Rightarrow$ završava na $0$ $\Rightarrow$ $2b$ završava na $4$.

Gornje dvije mogućnosti daju nam: $b=2\Rightarrow c=8$ ili $b=7\Rightarrow c=13$ što nije moguće (jer je $c$ znamenka).

U slučaju $1.$ imamo broj $1284$, a u slučaju $2.$ broj $2288$. Direktnom provjerom posljednjeg uvjeta zadatka jedino je rješenje broj $1284$.