6. Zadatak

Zapišimo funkciju u obliku:

$$\begin{aligned} f(x)&=(\log_3x)^4+16(\log_3x)^2\cdot(\log_381-\log_3x)\\ &=(\log_3x)^4+16(\log_3x)^2\cdot(4-\log_3x). \end{aligned}$$

Uvedemo li zamjenu $t=\log_3x$, dobivamo:

$$\begin{aligned} f(t)&=t^4+16t^2(4-t)\\ &=t^2(t^2-16t+64)=(t(t-8))^2. \end{aligned}$$

Za granične vrijednosti domene u varijabli $t$ dobivamo:

$$t_1=\log_31=0,\quad t_2=\log_36561=8,\quad\text{tj.}\quad t\in[0,8].$$

Funkcijske vrijednosti u graničnim vrijednostima domene $t_1,t_2$ su: $f(0)=0$, $f(8)=0$.

Napomena: mogu se odrediti i uvrštavanjem u početni zapis funkcije za granične vrijednosti varijable $x$.

Uočimo da je $f(t)=(g(t))^2$, pri čemu je $g(t)=t(t-8)$ kvadratna funkcija s nultočkama $t_1$ i $t_2$ (vidi skicu), pa funkcija $g$ minimalnu vrijednost postiže u apscisi tjemena $t_0=\frac{t_1+t_2}{2}=4$.

Vrijednosti funkcije $g$ na intervalu $t\in[0,8]$ negativne su, a minimum funkcije $g$ je u tjemenu te vrijedi $g(4)=-16$ što je minimalna vrijednost funkcije $g$.

Funkcija $f(t)$ koja je kvadrat funkcije $g$ postiže maksimalnu vrijednost upravo u točki ekstrema funkcije $g$, tj. u $t_0=4$. Maksimalna vrijednost funkcije $f$ je jednaka

$$\max f=f(4)=(4(4-8))^2=256.$$

Argument $x_M$ u kojemu funkcija postiže maksimalnu vrijednost na zadanom intervalu izračunamo iz jednadžbe:

$$\log_3x_M=4\Rightarrow x_M=3^4=81.$$

Prema tome funkcija $f$ na zadanom intervalu poprima vrijednosti iz intervala $[0,256]$.

Maksimalnu vrijednost $f$ postiže za argument $x_M=81$.