5. Zadatak

Antina je omiljena igra pikado, no ovaj je put umjesto tradicionalne ploče odlučio koristiti metu sa skice. Polumjer unutrašnjega kruga dvostruko je manji od polumjera vanjskoga, a istaknuti promjeri međusobno su okomiti. Kolika je vjerojatnost da zbroj bodova koje Ante ostvari u dva bacanja strelice bude paran?

Kružna meta s poljima označenima brojevima jedan i dva

Rješenje 1. Neka unutrašnji krug ima polumjer $r$ , a vanjski $2r$ . Veliki je krug promjerima i manjim krugom podijeljen na $8$ dijelova (polja). Površina manjega od tih dijelova (četvrtine manjega kruga) je $\frac{r^2\pi}{4}$ , a površina većega (četvrtine kružnog vijenca) je $\frac{(2r)^2\pi-r^2\pi}{4}=\frac{3r^2\pi}{4}$ . Istaknimo događaje:

$A=\{\text{pogođena je četvrtina manjega kruga}\}$
$B=\{\text{pogođena je četvrtina kružnog vijenca}\}$
$C=\{\text{pogođeno je polje s brojem 1}\}$
$D=\{\text{pogođeno je polje s brojem 2}\}$

Pripadajuće su vjerojatnosti:

\begin{aligned} P(A)&=\frac{\frac{r^2\pi}{4}}{(2r)^2\pi}=\frac1{16},\\ P(B)&=\frac{\frac{3r^2\pi}{4}}{(2r)^2\pi}=\frac3{16},\\ P(C)&=1\cdot\frac1{16}+2\cdot\frac3{16}=\frac7{16},\\ P(D)&=3\cdot\frac1{16}+2\cdot\frac3{16}=\frac9{16}\quad\text{ili}\quad1-\frac7{16}=\frac9{16}. \end{aligned}

Zbroj će u dva gađanja biti paran ako pogodi $(1,1)$ ili $(2,2)$ , pa tražena vjerojatnost iznosi

P=\frac7{16}\cdot\frac7{16}+\frac9{16}\cdot\frac9{16}=\frac{65}{128}.

Rješenje 2. Neka unutrašnji krug ima polumjer $r$ , a vanjski $2r$ . Veliki je krug promjerima i manjim krugom podijeljen na $8$ dijelova (polja). Površina manjega od tih dijelova (četvrtine manjega kruga) je $\frac{r^2\pi}{4}$ , a površina većega (četvrtine kružnog vijenca) je $\frac{(2r)^2\pi-r^2\pi}{4}=\frac{3r^2\pi}{4}$ . Istaknimo događaje:

$A=\{\text{pogođena je četvrtina manjega kruga}\}$
$B=\{\text{pogođena je četvrtina kružnog vijenca}\}$
$C=\{\text{pogođeno je polje s brojem 1}\}$
$D=\{\text{pogođeno je polje s brojem 2}\}$

Vjerojatnost da strelica pogodi dio (polje) s brojem $1$ je

P(C)=\frac{2\cdot\frac{3r^2\pi}{4}+\frac{r^2\pi}{4}}{(2r)^2\pi}=\frac{\frac{7r^2\pi}{4}}{(2r)^2\pi}=\frac7{16},

a vjerojatnost da pogodi dio (polje) s brojem $2$ je

P(D)=\frac{2\cdot\frac{3r^2\pi}{4}+3\cdot\frac{r^2\pi}{4}}{(2r)^2\pi}=\frac{\frac{9r^2\pi}{4}}{(2r)^2\pi}=\frac9{16}

ili $P(D)=1-\frac7{16}=\frac9{16}$ .

Zbroj će u dva gađanja biti paran ako pogodi $(1,1)$ ili $(2,2)$ , odnosno

P=\frac7{16}\cdot\frac7{16}+\frac9{16}\cdot\frac9{16}=\frac{65}{128}.