4. Zadatak

Rješenje 1. Za rješenja kvadratne jednadžbe vrijede Vièteove formule pa je $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac13$ i $\sin\alpha\cos\alpha=\frac p3$. Kvadriranjem prve jednakosti dobije se

$$\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cdot\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac19,$$

tj. $1+2\cdot\frac p3=\frac19$ iz čega slijedi da je $p=-\frac43$.

Sad imamo da je $\sin^2\beta+2\cos^2\beta-\frac43=\frac5{12}$, odnosno $\sin^2\beta+\cos^2\beta+\cos^2\beta-\frac43=\frac5{12}$ pa ostaje da je $\cos^2\beta=\frac5{12}-1+\frac43=\frac34$.

Imamo dva slučaja, tj. dva rješenja za $0\leq\beta\leq180^\circ$:

1. $\cos\beta=\frac{\sqrt3}{2}$, odnosno $\beta_1=30^\circ$
2. $\cos\beta=-\frac{\sqrt3}{2}$, odnosno $\beta_2=150^\circ$

Rješenje 2. Za rješenja kvadratne jednadžbe vrijede Vièteove formule pa je $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac13$ i $\sin\alpha\cos\alpha=\frac p3$. Kvadriranjem prve jednakosti dobije se

$$\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cdot\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac19,$$

tj. $1+2\cdot\frac p3=\frac19$ iz čega slijedi da je $p=-\frac43$.

Iz $\sin^2\beta+2\cos^2\beta-\frac43=\frac5{12}$ dobijemo $\sin^2\beta+2(1-\sin^2\beta)-\frac43=\frac5{12}$, tj. $\sin^2\beta=-\frac5{12}+2-\frac43=\frac14$.

Zbog uvjeta $0\leq\beta\leq180^\circ$ je $\sin\beta=\frac12$, tj.

$$\beta_1=30^\circ$$

i

$$\beta_2=150^\circ.$$