5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x$ početni Tonijev broj. Slijed igre prikazan je tablicom:

Igrač	Toni	Lana	Toni	Lana	Toni	Lana	Toni
Dobiveni broj	$2x$	$2x+50$	$4x+100$	$4x+150$	$8x+300$	$8x+350$	$16x+700$

Očito Toni ne može napraviti više od četiri udvostručavanja jer bi već za $x=1$ peto Tonijevo udvostručavanje prešlo $1000$.

Zadnji Tonijev izračunati broj mora biti između $950$ i $999$. Odavde slijedi

$$950<16x+700<1000,$$ $$250<16x<300,$$ $$16\le x\le18.$$

Provjerimo slijed igre za $x=16$. Zadnji Tonijev izračunati broj je $956$, a gledajući unazad, brojevi su $478,428,214,164,82,32,16$. Dakle, Toni treba započeti brojem $16$ kako bi pobijedio u igri, a to je i najmanji takav broj.

Drugo rješenje.

Računamo unazad intervale u kojima su dobiveni brojevi Lane i Tonija. Tonijev zadnji izračunati broj mora biti između $950$ i $999$; prije toga je zadnji Lanin broj, i tako dalje. Pišemo:

$$\begin{aligned} 950<T_4&\le999,\\ 475<L_3&\le499,\\ 425<T_3&\le449,\\ 212<L_2&\le224,\\ 162<T_2&\le174,\\ 81<L_1&\le87,\\ 31<T_1&\le37,\\ 15<x&\le18. \end{aligned}$$

Početni broj $x$ koji je Toni izabrao je jedan od brojeva $16,17,18$.

Provjerimo da za $x=16$ Toni doista dolazi do pobjede:

$$16,32,82,164,214,428,478,956.$$

Zaključujemo da je $16$ najmanji broj s kojim Toni može pobijediti.