7. Zadatak

Rotacijom pravokutnog trokuta oko hipotenuze nastaje tijelo koje se sastoji od dva stošca sa zajedničkom bazom polumjera jednakog visini na hipotenuzu.

Oplošje se sastoji od dva plašta kojima su izvodnice katete $a$ i $b$ danog pravokutnog trokuta. Polumjer baze stošca je visina $v$ danog pravokutnog trokuta. Imamo, dakle,

$$a+b+3v=12,$$ $$O=v\pi a+v\pi b=v\pi(12-3v)=3\pi(-v^2+4v).$$

Oplošje će biti maksimalno za onaj $v$ za koji funkcija $f(v)=-v^2+4v$ postiže maksimum, dakle za

$$v=-\frac{4}{-2}=2.$$

Iz $a+b=12-3v$ slijedi

$$a+b=6.\tag{1}$$

Iz

$$\frac{ab}{2}=\frac{cv}{2}$$

slijedi

$$ab=cv=2c.\tag{2}$$

Kvadriranjem jednakosti (1) imamo $(a+b)^2=36$, odnosno $a^2+2ab+b^2=36$. Tada zbog (2) i Pitagorinog poučka $(a^2+b^2=c^2)$ posljednja jednakost prelazi u

$$c^2+4c-36=0.$$

Pozitivno rješenje dobivene kvadratne jednadžbe je

$$c=-2+2\sqrt{10}.$$

Traženi je obujam zbroj obujama dvaju stožaca koji imaju iste baze te visine $x$, odnosno $y$.

$$V=\frac13v^2\pi x+\frac13v^2\pi y=\frac13v^2\pi(x+y)=\frac13v^2\pi c.$$

Konačno, dobivamo

$$V=\frac83\pi(\sqrt{10}-1)$$

kubičnih jedinica.