6. Zadatak

Neka je $a=5^x$, $b=5^y$, gdje su $x$ i $y$ brojevi iz skupa $\{1,2,3,\ldots,32,33\}$. Tada je

$$\log_a b=\log_{5^x}5^y=\frac{y}{x}.$$

Ovaj će razlomak biti cijeli broj ako i samo ako je $y$ višekratnik broja $x$, veći od $x$, a manji ili jednak $33$. Imamo sljedeće slučajeve:

$$\begin{aligned} x=1&\Rightarrow y\in\{2,3,\ldots,33\}, &&\text{ukupno 32 para oblika }(1,y),\\ x=2&\Rightarrow y\in\{4,6,8,\ldots,32\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{2}\right\rfloor-1=15\text{ parova oblika }(2,y),\\ x=3&\Rightarrow y\in\{6,9,12,\ldots,33\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{3}\right\rfloor-1=10\text{ parova oblika }(3,y),\\ x=4&\Rightarrow y\in\{8,12,16,\ldots,32\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{4}\right\rfloor-1=7\text{ parova oblika }(4,y),\\ x=5&\Rightarrow y\in\{10,15,20,25,30\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{5}\right\rfloor-1=5\text{ parova oblika }(5,y),\\ x=6&\Rightarrow y\in\{12,18,24,30\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{6}\right\rfloor-1=4\text{ para oblika }(6,y),\\ x=7&\Rightarrow y\in\{14,21,28\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{7}\right\rfloor-1=3\text{ para oblika }(7,y),\\ x=8&\Rightarrow y\in\{16,24,32\}, &&\text{ukupno }\left\lfloor\frac{33}{8}\right\rfloor-1=3\text{ para oblika }(8,y). \end{aligned}$$

Višekratnika brojeva $9,10,11$ manjih od $33$ ima po $2$, a višekratnika brojeva $12,13,14,15,16$ ima samo po $1$.

Ukupan broj parova iznosi

$$32+15+10+7+5+4+3+3+3\cdot2+5\cdot1=90.$$

Zaključujemo da jedan od sinova može zaraditi maksimalno $90$ kn.