6. Zadatak

Dani je vrh

$$A\left(\sqrt2,\frac1{\sqrt2}\right),$$

a simetrično u odnosu na ishodište je vrh

$$C\left(-\sqrt2,-\frac1{\sqrt2}\right).$$

Pravac $AC$ je dijagonala romba, prolazi kroz ishodište te ima jednadžbu $y=kx$, gdje je

$$k=\frac{1/\sqrt2}{\sqrt2}=\frac12.$$

Druga dijagonala tada ima jednadžbu $y=-\frac1k x$, tj. $y=-2x$.

Vrhove $B$ i $D$ dobit ćemo kao presjek pravca $y=-2x$ i elipse.

$$x^2+4(-2x)^2=4 \quad\Longrightarrow\quad17x^2=4 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\frac4{17}.$$

Iz čega slijedi

$$x=\pm\frac2{\sqrt{17}}, \qquad y=-2\left(\pm\frac2{\sqrt{17}}\right)=\mp\frac4{\sqrt{17}}.$$

Odnosno

$$B\left(-\frac2{\sqrt{17}},\frac4{\sqrt{17}}\right) \quad\text{i}\quad D\left(\frac2{\sqrt{17}},-\frac4{\sqrt{17}}\right).$$

Površina romba je $P=\frac{e\cdot f}{2}$, gdje su $e$ i $f$ dijagonale romba. Sada imamo

$$e=|AC|=\sqrt{(2\sqrt2)^2+\left(2\cdot\frac1{\sqrt2}\right)^2}=\sqrt{10},$$ $$f=|BD|=\sqrt{\left(2\cdot\frac2{\sqrt{17}}\right)^2+\left(2\cdot\frac4{\sqrt{17}}\right)^2}=\sqrt{\frac{80}{17}}.$$

Zato je

$$P=\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{80/17}}2 =10\sqrt{\frac2{17}} =\frac{10\sqrt{34}}{17}.$$