5. Zadatak

Označimo s $\alpha$ i $\beta$ dijelove na koje visina iz vrha $A$ dijeli kut $CAB$. Vrijedi

$$\tg\alpha=\frac2v,\qquad \tg\beta=\frac{10}{v},$$

i

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac92.$$

Koristeći formulu za tangens zbroja dobivamo

$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}=\frac92,$$

odnosno

$$\frac{\frac2v+\frac{10}{v}}{1-\frac2v\cdot\frac{10}{v}} =\frac{12v}{v^2-20}=\frac92.$$

Slijedi

$$9v^2-24v-180=0, \qquad 3v^2-8v-60=0.$$

Pozitivno rješenje ove jednadžbe $v=6$ je visina trokuta $ABC$. Tražena površina tada iznosi

$$P=\frac{(2+10)\cdot6}{2}=36\ \text{cm}^2.$$