7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z=x+yi$, $x>0$, $y<0$. Tada iz $|z+iz|=2$ slijedi

$$|x+yi+xi-y|=2,$$

tj.

$$\sqrt{(x-y)^2+(x+y)^2}=2,$$

pa je

$$(x-y)^2+(x+y)^2=4, \qquad x^2+y^2=2.$$

Po binomnoj formuli je

$$z^4=x^4+4x^3yi-6x^2y^2-4xy^3i+y^4.$$

Tako smo dobili sljedeći sustav jednadžbi:

$$x^4-6x^2y^2+y^4=-2, \qquad x^2+y^2=2.$$

Iz druge jednadžbe je $y^2=2-x^2$, pa nakon uvrštavanja u prvu jednadžbu dobijemo bikvadratnu jednadžbu

$$4x^4-8x^2+3=0$$

kojoj su rješenja

$$x^2=\frac32\quad\text{i}\quad x^2=\frac12.$$

Tada je $y^2=\frac12$ i $y^2=\frac32$, tj.

$$x,y\in\left\{\pm\frac{\sqrt6}{2},\ \pm\frac{\sqrt2}{2}\right\}.$$

Konačno, zbog $x>0$ i $y<0$:

$$z_1=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6}{2}, \qquad z_2=\frac{\sqrt6}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, $r=|z|$, $\varphi\in\left\langle\frac{3\pi}{2},2\pi\right\rangle$.

Tada je

$$z^4=r^4(\cos4\varphi+i\sin4\varphi),$$

odnosno

$$\operatorname{Re}(z^4)=r^4\cos4\varphi.$$

Vrijedi

$$|z+iz|=|z(1+i)|=|z|\cdot|1+i|=r\sqrt2,$$

odnosno $r\sqrt2=2\Longrightarrow r=\sqrt2$.

Uvrštavanjem u zadanu jednakost dobivamo

$$(\sqrt2)^4\cos4\varphi=-2 \quad\Longrightarrow\quad \cos4\varphi=-\frac12.$$

Zato je

$$4\varphi=\pm\frac{2\pi}{3}+k\cdot2\pi, \qquad \varphi=\pm\frac\pi6+k\cdot\frac\pi2, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Kako je $z$ u četvrtom kvadrantu slijedi

$$\begin{aligned} z_1&=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right) =\sqrt2\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6}{2},\\ z_2&=\sqrt2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right) =\sqrt2\left(\frac{\sqrt3}{2}-i\frac12\right) =\frac{\sqrt6}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}. \end{aligned}$$