7. Zadatak

Rješenje 1.

Prvi faktor treba zapisati u obliku:

$$\sqrt{(5+\sqrt{21})^2}\cdot(\sqrt{14}-\sqrt6)\cdot\sqrt{5-\sqrt{21}}.$$

Raspisom se dobije razlika kvadrata ispod korijena

$$\begin{aligned} &\sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot(\sqrt{14}-\sqrt6)\cdot\sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot\sqrt{5-\sqrt{21}}\\ &\qquad=\sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot(\sqrt{14}-\sqrt6)\cdot\sqrt{5^2-\sqrt{21}^{,2}}\\ &\qquad=\sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot(\sqrt{14}-\sqrt6)\cdot\sqrt{25-21}. \end{aligned}$$

Izlučivanjem $\sqrt2$ dobivamo:

$$\sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot\sqrt2\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot\sqrt4 =\sqrt{5+\sqrt{21}}\cdot\sqrt2\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot2.$$

Izraz ispod korijena svodimo na kvadrat zbroja:

$$\begin{aligned} \sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}2}\cdot\sqrt2\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot2 &=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt2}\cdot\sqrt2\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot2\\ &=\sqrt{10+2\sqrt{21}}\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot2\\ &=\sqrt{(\sqrt7+\sqrt3)^2}\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot2. \end{aligned}$$

Dobiva se razlika kvadrata:

$$(\sqrt7+\sqrt3)\cdot(\sqrt7-\sqrt3)\cdot2=(\sqrt7^{,2}-\sqrt3^{,2})\cdot2=8.$$

Dobili smo broj $8$ i pokazali što je trebalo dokazati.

Rješenje 2. Cijeli izraz izjednačimo s $a$ i kvadriramo:

$$(5+\sqrt{21})\cdot(\sqrt{14}-\sqrt6)\cdot\sqrt{5-\sqrt{21}}=a.$$

Kvadriranjem dobivamo:

$$\begin{aligned} (5+\sqrt{21})^2\cdot(\sqrt{14}-\sqrt6)^2\cdot\left(\sqrt{5-\sqrt{21}}\right)^2&=a^2,\\ (46+10\sqrt{21})\cdot(20-2\sqrt{84})\cdot(5-\sqrt{21})&=a^2. \end{aligned}$$

Izlučivanjem iz zagrada, dobivamo:

$$2\cdot2\cdot(23+5\sqrt{21})\cdot(10-\sqrt{84})\cdot(5-\sqrt{21})=a^2.$$

Sređivanjem izraza dobivamo:

$$\begin{aligned} 2\cdot2\cdot(23+5\sqrt{21})\cdot(10-2\sqrt{21})\cdot(5-\sqrt{21})&=a^2,\\ 8\cdot(23+5\sqrt{21})\cdot(5-\sqrt{21})\cdot(5-\sqrt{21})&=a^2. \end{aligned}$$

Množenjem zagrada:

$$\begin{aligned} 2\cdot2\cdot2(23+5\sqrt{21})\cdot(5-\sqrt{21})^2&=a^2,\\ 8\cdot(23+5\sqrt{21})\cdot(46-10\sqrt{21})&=a^2. \end{aligned}$$

Izlučivanjem broja dobivamo razliku kvadrata:

$$\begin{aligned} 16\cdot(23+5\sqrt{21})\cdot(23-5\sqrt{21})&=a^2,\\ 16\cdot(23^2-(5\sqrt{21})^2)&=a^2,\\ 16\cdot(529-525)&=a^2,\\ 16\cdot4&=a^2,\\ a^2&=64,\\ a&=8. \end{aligned}$$

Dobili smo broj $8$ i pokazali što je trebalo dokazati.