1. Zadatak

Iz kvadratne jednadžbe imamo:

Kvadratni koeficijent jednak je $a-1$, linearni koeficijent jednak je $a$ i slobodni koeficijent jednak je $\frac{a+1}{4}$.

Sada možemo uz pomoć formule za rješavanje kvadratne jednadžbe zapisati:

$$\begin{aligned} x_{1,2} &=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4(a-1)\frac{a+1}{4}}}{2(a-1)} =\frac{-a\pm\sqrt{a^2-(a-1)(a+1)}}{2(a-1)}\\ &=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-a^2+1}}{2(a-1)} =\frac{-a\pm1}{2(a-1)},\\ x_1&=\frac{-a+1}{2(a-1)}=\frac{-(a-1)}{2(a-1)}=-\frac12,\\ x_2&=\frac{-a-1}{2(a-1)}=\frac{a+1}{2(1-a)}. \end{aligned}$$

Prvo rješenje ne ovisi o realnom broju $a$ i negativno je. Ako je drugo rješenje pozitivno, vrijedi: $\frac{a+1}{1-a}>0$ odnosno

$$\begin{cases}a+1>0\\1-a>0\end{cases} \qquad\text{ili}\qquad \begin{cases}a+1<0\\1-a<0\end{cases}.$$

Rješenja će biti pozitivna za $a\in\langle-1,1\rangle$.