4. Zadatak

Rješenje 1. Zadatak ćemo riješiti metodom faktorizacije. Zadanu jednadžbu raspišemo:

$$\begin{aligned} 3x^2+xy-6xy-2y^2&=11,\\ x(3x+y)-2y(3x+y)&=11. \end{aligned}$$

Nakon sređivanja izraza dobivamo

$$(x-2y)(3x+y)=11.$$

Djelitelji broja $11$ su: $\pm1,\pm11$. Dobivamo sustave:

$$\begin{array}{ll} \text{a)}\ \begin{cases}x-2y=1\\3x+y=11\end{cases} &\text{b)}\ \begin{cases}x-2y=-1\\3x+y=-11\end{cases}\\[1em] \text{c)}\ \begin{cases}x-2y=11\\3x+y=1\end{cases} &\text{d)}\ \begin{cases}x-2y=-11\\3x+y=-1\end{cases} \end{array}$$

Rješenja sustava su redom

$$\left(\frac{23}{7},\frac87\right),\quad \left(-\frac{23}{7},-\frac87\right),\quad \left(\frac{13}{7},-\frac{32}{7}\right),\quad \left(-\frac{13}{7},\frac{32}{7}\right).$$

Kako su rješenja racionalni brojevi, jednadžba nema rješenje u skupu cijelih brojeva.

Rješenje 2.

Raspisati izraz nadopunjavanjem na potpuni kvadrat:

$$\begin{aligned} 3x^2-5xy-2y^2&=11,\\ 3\left(x^2-\frac53xy+\left(\frac56y\right)^2-\left(\frac56y\right)^2\right)-2y^2&=11,\\ 3\left(x^2-\frac53xy+\left(\frac56y\right)^2\right)-\frac{25}{12}y^2-2y^2&=11. \end{aligned}$$

Svodimo na razliku kvadrata:

$$\begin{aligned} 3\left(x-\frac56y\right)^2-\frac{49}{12}y^2&=11,\\ 3\left(\left(x-\frac56y\right)^2-\frac{49}{36}y^2\right)&=11. \end{aligned}$$

Iz razlike kvadrata i uz pomoć faktorizacije dobivamo:

$$(3x+y)(x-2y)=11.$$

Djelitelji broja $11$ su: $\pm1,\pm11$. Dobivamo sustave:

$$\begin{array}{ll} \text{a)}\ \begin{cases}x-2y=1\\3x+y=11\end{cases} &\text{b)}\ \begin{cases}x-2y=-1\\3x+y=-11\end{cases}\\[1em] \text{c)}\ \begin{cases}x-2y=11\\3x+y=1\end{cases} &\text{d)}\ \begin{cases}x-2y=-11\\3x+y=-1\end{cases} \end{array}$$

Rješenja sustava su redom

$$\left(\frac{23}{7},\frac87\right),\quad \left(-\frac{23}{7},-\frac87\right),\quad \left(\frac{13}{7},-\frac{32}{7}\right),\quad \left(-\frac{13}{7},\frac{32}{7}\right).$$

Kako su rješenja racionalni brojevi, jednadžba nema rješenje u skupu cijelih brojeva.