3. Zadatak

Neka je $|CE|=x$. Tada je prema uvjetu zadatka $|CD|=3-x$.

Kako je trokut $ABC$ jednakostraničan primjenom poučka o kosinusu uz oznake kao na slici dobivamo:

$$\begin{aligned} |MD|^2 &=|MB|^2+|BD|^2-2|MB||BD|\cdot\cos60^\circ\\ &=1+(x-1)^2-2(x-1)\cdot\frac12=x^2-3x+3, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} |ME|^2 &=|AE|^2+|AM|^2-2|AE||AM|\cdot\cos60^\circ\\ &=(2-x)^2+1-2(2-x)\cdot\frac12=x^2-3x+3. \end{aligned}$$

Kako je $|MD|=|ME|$ zaključujemo da je trokut $MDE$ jednakokračan.

Nadalje, primjenimo li poučak o kosinusu na trokut $CDE$ dobivamo:

$$\begin{aligned} |DE|^2 &=|CD|^2+|CE|^2-2|CD||CE|\cdot\cos60^\circ\\ &=(3-x)^2+x^2-2x(3-x)\cdot\frac12=3(x^2-3x+3). \end{aligned}$$

Konačno iz jednakokračnog trokuta $MDE$ slijedi

$$\sin\left(\frac{|\angle DME|}{2}\right) =\frac{|DE|}{2|MD|} =\frac{\sqrt{3(x^2-3x+3)}}{2\sqrt{x^2-3x+3}} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Dakle, $\frac{|\angle DME|}{2}=60^\circ$ odnosno $|\angle DME|=120^\circ$.