5. Zadatak

Kako je dužina $AB$ paralelna s dužinom $CD$ riječ je o jednakokračnom trapezu. Neka je $N$ nožište visine trapeza povučene iz vrha $D$ na stranicu $AB$.

Označimo $|AN|=x$. Tada je $|NB|=2-x$.

Prema Talesovom poučku o obodnom kutu nad promjerom kružnice zaključujemo da je trokut $ABD$ pravokutan s pravim kutom pri točki $D$.

Stoga je prema Euklidovom poučku

$$|DN|=\sqrt{|AN|\cdot|NB|}=\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{2x-x^2}.$$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutan trokut $AND$ dobivamo

$$|AD|=\sqrt{|AN|^2+|DN|^2}=\sqrt{x^2+2x-x^2}=\sqrt{2x}.$$

Budući da je trapez jednakokračan, slijedi da je $|CD|=2-2x$, pa opseg trapeza možemo izraziti kao funkciju po $x$, tj.

$$o(x)=2+2-2x+2\sqrt{2x}=4-2x+2\sqrt{2x} =5-(2x-2\sqrt{2x}+1)=5-(\sqrt{2x}-1)^2.$$

Očito funkcija $o(x)$ poprima maksimalnu vrijednost za $\sqrt{2x}-1=0$, tj. $x=\frac12$.

Stoga je duljina kraće osnovice $|CD|=2-2x=2-2\cdot\frac12=1$ cm.

Napomena: Maksimum funkcije $o(x)=4-2x+2\sqrt{2x}$ može se odrediti i na sljedeći način. Kako $x$ može poprimiti vrijednosti iz intervala $[0,1]$, zaključujemo da je $\sqrt{2x}\in[0,\sqrt2]$.

Uvedemo li supsituciju $\sqrt{2x}=t$, tražimo maksimum funkcije $f(t)=-t^2+2t+4$ na intervalu $[0,\sqrt2]$. Kako funkcija $f$ poprima maksimum za $t=1\in[0,\sqrt2]$, konačno dobivamo $\sqrt{2x}=1$, odnosno $x=\frac12$.

Stoga je duljina kraće osnovice $|CD|=2-2x=2-2\cdot\frac12=1$ cm.