4. Zadatak

Oduzmemo li od jednadžbe $x+y^2=y^3$ jednadžbu $y+x^2=x^3$ dobivamo $x-y+y^2-x^2=y^3-x^3$.

Iz $x-y+y^2-x^2=y^3-x^3$ slijedi $(x-y)-(x^2-y^2)+(x^3-y^3)=0$, odakle faktorizacijom dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$(x-y)-(x-y)(x+y)+(x-y)(x^2+xy+y^2)=0$$ $$(x-y)(1-x-y+x^2+xy+y^2)=0.$$

Ako je $x-y=0$ uvrštavanjem $x=y$ u bilo koju od zadanih jednadžbi slijedi $x^3-x^2-x=0$, odnosno $x(x^2-x-1)=0$.

Stoga zaključujemo $x=0$ ili $x^2-x-1=0$, to jest $x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$.

Dakle, realna rješenja sustava jednadžbi su: $(0,0)$, $\left(\frac{1+\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right)$, $\left(\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2}\right)$.

Iz $1-x-y+x^2+xy+y^2=0$ dobivamo $x^2+(y-1)x+y^2-y+1=0$, odakle slijedi

$$x_{1,2}=\frac{1-y\pm\sqrt{-3y^2+2y-3}}{2}.$$

Promotrimo kvadratnu funkciju $f(y)=-3y^2+2y-3$. Kako je vodeći koeficijent $a=-3<0$ i diskriminanta $D=-32<0$, zaključujemo da kvadratna funkcija $f(y)=-3y^2+2y-3$ poprima negativne vrijednosti za svaki $y\in\mathbb R$.

Stoga jednadžba $x^2+(y-1)x+y^2-y+1=0$ nema realnih rješenja.

Dakle, rješenja sustava jednadžbi su

$$(x,y)\in\left\{(0,0), \left(\frac{1+\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right), \left(\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\right\}.$$