5. Zadatak
U jednakostraničnom trokutu polovište stranice je točka . Točke i su između točaka i , a točke i između točaka i . Točke , i dijele dužinu na četiri jednaka dijela. Tim točkama povučene su paralele sa stranicom . Promatramo sve trokute kojima je jedan vrh u točki , a preostala dva na jednoj od konstruiranih paralela sa stranicom , uključujući i to u točkama presjeka sa spojnicama , , , , ili .
Ako je ukupan broj takvih trokuta jednak , a ukupan broj takvih trokuta koji ne sadrže težište jednak , odredite omjer .
Neka je stranica obojana crno, paralela kroz crveno, paralela kroz plavo, a paralela kroz zeleno. Težište nalazi se na težišnici i to između plave i crvene paralele jer je dijeli u omjeru od vrha .
Prebrojimo trokute čija je stranica nasuprot vrhu crne boje.
Na dužini moramo od 6 točaka , , , , i izabrati dvije točke.
Ako izaberemo točku , onda se druga točka može odabrati na 5 načina.
Ako izaberemo točku , onda se druga točka može odabrati na 4 načina (bez točke jer je trokut uključen u prethodni slučaj).
Ako izaberemo točku , onda se druga točka može odabrati na 3 načina.
Ako izaberemo točku , onda se druga točka može odabrati na 2 načina.
Ako izaberemo točku , onda se druga točka može odabrati na 1 način.
Dakle, takvih je 15 trokuta.
Isto toliko imamo trokuta čija je jedna stranica crvena, plava ili zelena. Zato je ukupan broj trokuta .
Sada ćemo izračunati koliko trokuta sadrži točku . Takvi trokuti moraju jednu stranicu imati ili crnu ili crvenu.
Ako izaberemo jedan vrh u točki , onda drugi vrh mora biti , ili .
Analogno, ako je jedan vrh u točki ili , imamo po tri mogućnosti za drugi vrh.
Dakle, broj trokuta koji sadrže točku s jednom crnom stranicom je , a isto ih je toliko sa crvenom stranicom.
Ukupno 18 trokuta sadrži točku , a trokuta ne sadrži točku .
Traženi omjer je .