4. Zadatak

Zadatak ćemo riješiti razmatrajući graf zadane funkcije.

Zapišimo funkciju bez znaka apsolutne vrijednosti i nacrtajmo njezin graf.

$$\begin{aligned} x\leq0&\quad\Longrightarrow\quad f(x)=|x-4|(|x|-2)=(-x+4)(-x-2)\\ 0\leq x\leq4&\quad\Longrightarrow\quad f(x)=(-x+4)(x-2)\\ x\geq4&\quad\Longrightarrow\quad f(x)=(x-4)(x-2) \end{aligned}$$

Dakle,

$$f(x)= \begin{cases} x^2-2x-8 & \text{za }x\leq0\\ -x^2+6x-8 & \text{za }0\leq x\leq4\\ x^2-6x+8 & \text{za }x\geq4. \end{cases}$$

Tada je grafički prikaz funkcije sljedeći.

Graf dane funkcije sastoji se od dijelova tri parabole (grafova tri kvadratne funkcije $f_1$, $f_2$ i $f_3$) koje se “lome” u točkama $x=0$ i $x=4$.

Na intervalu od $x=-2$ do $x=0$ vrijednost funkcije $f_1$ pada, zatim od $x=0$ do $x=3$ vrijednost funkcije $f_2$ raste (od prve točke loma do njezina tjemena), a pada od $x=3$ do $x=4$ (od tjemena do druge točke loma) te na kraju na intervalu od $x=4$ do $x=5$ funkcija $f_3$ raste (od točke loma do ruba zadanog intervala).

Uočimo da minimalnu ili maksimalnu vrijednost naše funkcije treba tražiti među rubnim točkama zadanog intervala, u točkama u kojima se graf “lomi” ili tjemenu.

Vidimo da će funkcija $f$ imati maksimalnu vrijednost na zadanom intervalu za $x=5$ i maksimum iznosi $f(5)=3$, a minimalnu vrijednost postiže za $x=0$, a iznosi $f(0)=-8$.

Jednadžba $f(x)=m$ ima točno dva realna rješenja ako je $m\in(-8,0)\cup(1,\infty)$.