1. Zadatak

Prvo rješenje.

Izračunajmo redom

$$\begin{aligned} z^2&=\left(\frac{1+\sqrt3i}{2}\right)^2 =\frac{2\sqrt3i-2}{4}=\frac{\sqrt3i-1}{2}\\ z^3&=\frac{1+\sqrt3i}{2}\cdot\frac{\sqrt3i-1}{2} =\frac{-3-1}{4}=-1\\ z^4&=-z\\ z^6&=z^4\cdot z^2=-z^3=1\\ z^8&=z^6\cdot z^2=z^2,\qquad z^{10}=z^6\cdot z^4=z^4=-z,\qquad z^{12}=1,\ldots \end{aligned}$$

Svake tri uzastopne parne potencije broja $z$ imaju iste vrijednosti kao

$$z^0=1,\qquad z^2=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\qquad z^4=-z,$$

pa je

$$\begin{aligned} 1+z^2+z^4+\cdots+z^{2\cdot2019} &=(1+z^2-z)+(1+z^2-z)+\cdots+(1+z^2-z)+z^{2\cdot2019}\\ &=673\cdot(1+z^2-z)+1\\ &=673\cdot\left(1+\frac{-1+i\sqrt3}{2}-\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)+1=1. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Potencije broja $z$ računamo kao i u prvom rješenju.

Primijenimo formulu $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$, odnosno formulu

$$a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$$

na izraz $1+z^2+z^4+\cdots+z^{2\cdot2019}$ za $a=1$, $b=z^2$, $n=2020$.

Tada je

$$1+z^2+z^4+\cdots+z^{2\cdot2019} =\frac{1^{2020}-(z^2)^{2020}}{1-z^2} =\frac{1-z^{4040}}{1-z^2} =\frac{1-z^2}{1-z^2}=1,$$

jer je $4040=3\cdot1346+2$, pa je $z^{4040}=z^2$.