3. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $\dfrac ab=\dfrac cd$, postoji neki $k\in\mathbb R$, $k\ne0$, tako da je $a=kc$ i $b=kd$. Tada je

$$\begin{aligned} \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}-\frac{ab}{a+b}-\frac{cd}{c+d} &=\frac{c(1+k)d(1+k)}{c(1+k)+d(1+k)}-\frac{kc\,kd}{k(c+d)}-\frac{cd}{c+d}\\ &=\frac{cd(1+k)}{c+d}-\frac{kcd}{c+d}-\frac{cd}{c+d}\\ &=\frac{cd(1+k-k-1)}{c+d}=0. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Ako je $\dfrac ab=\dfrac cd$, onda je $ad=bc$. Pomnožimo brojnik i nazivnik prva dva razlomka u danom izrazu s $d$, a zatim primijenimo $ad=bc$.

$$\begin{aligned} \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}-\frac{ab}{a+b}-\frac{cd}{c+d} &=\frac{(ad+cd)(b+d)}{ad+bd+cd+d^2}-\frac{abd}{ad+bd}-\frac{cd}{c+d}\\ &=\frac{(bc+cd)(b+d)}{bc+bd+cd+d^2}-\frac{bbc}{bc+bd}-\frac{cd}{c+d}\\ &=\frac{c(b+d)(b+d)}{b(c+d)+d(c+d)}-\frac{bc}{c+d}-\frac{cd}{c+d}\\ &=\frac{c(b+d)(b+d)}{(b+d)(c+d)}-\frac{bc}{c+d}-\frac{cd}{c+d}\\ &=\frac{bc+cd-bc-cd}{c+d}=0. \end{aligned}$$