6. Zadatak

Dokaz provodimo matematičkom indukcijom.

Provjera za $n=1$.

$$2=10+(3-5)\cdot2^2$$ $$2=10-8$$

Dakle, tvrdnja vrijedi za $n=1$.

Pretpostavimo da za neki prirodni broj $n$ vrijedi tvrdnja

$$2+16+56+\ldots+(3n-2)\cdot2^n=10+(3n-5)\cdot2^{n+1}.$$

Dokažimo da tada tvrdnja vrijedi i za $n+1$, odnosno da vrijedi

$$2+16+56+\ldots+(3n-2)\cdot2^n+(3n+1)\cdot2^{n+1}=10+(3n-2)\cdot2^{n+2}.$$

Krenimo od lijeve strane prethodne jednakosti i iskoristimo pretpostavku indukcije:

$$\begin{aligned} 2+16+56+\ldots+(3n-2)\cdot2^n+(3n+1)\cdot2^{n+1} &=10+(3n-5)\cdot2^{n+1}+(3n+1)\cdot2^{n+1}\\ &=10+2^{n+1}\cdot(6n-4)\\ &=10+2^{n+1}\cdot2(3n-2)\\ &=10+2^{n+2}\cdot(3n-2). \end{aligned}$$

Prema tome, tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$.