8. Zadatak

Iz jednadžbe parabole dobivamo $2p=16$, odnosno $\frac p2=4$.

Žarište parabole je točka $(4,0)$. Ravnalica je pravac $x=-4$.

Središte kružnice je u točki $S(4,0)$, a polumjer kružnice je udaljenost od $S$ do ravnalice, $r=8$. Tada je jednadžba kružnice

$$(x-4)^2+y^2=64.$$

Presjek parabole i kružnice je rješenje sustava jednadžbi $(x-4)^2+y^2=64,\ y^2=16x$.

$$(x-4)^2+16x=64$$ $$(x+4)^2=64.$$

$x+4=\pm8$, tj. $x=4$ ili $x=-12$.

Rješenje je $x=4$ ($-12$ nije moguće jer bi tada bilo $y^2<0$).

Tada je $y^2=16\cdot4,\ y=\pm8$, a sjecišta su točke $T_1=(4,8),\ T_2=(4,-8)$.

Zbog simetrije, traženi kut neće ovisiti o izboru točke.

Tangenta na parabolu u $T_1=(4,8)$ je $y\cdot8=8(x+4)$, odnosno $y=x+4$.

Tangenta na kružnicu u $T_1=(4,8)$ je pravac $y=8$.

Tada je kut između danih krivulja ili kut između dobivenih tangenti jednak kutu $φ$ što ga pravac $y=x+4$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x$.

Kako je $\tg\varphi=k=1$, slijedi da je $\varphi=45^\circ$.