7. Zadatak

Tijelo koje se dobije danom rotacijom je sastavljeno od dva krnja stošca kojima nedostaju dva stošca (slika!).

Oba krnja stošca imaju polumjere manje baze $r$, a veće (zajedničke baze) $R$, dok oba stošca imaju polumjer baze $r$.

$r$ je jednak polovici manje dijagonale deltoida ili visini na stranicu $c$ trokuta $ABC$, a $R=2r$.

Označimo s $V_{ks1}$ obujam krnjeg stošca kojemu je visina $x$, s $V_{ks2}$ obujam krnjeg stošca kojemu je visina $c-x$, s $V_1$ obujam stošca kojemu je visina $x$, a s $V_2$ obujam stošca kojemu je visina $c-x$.

Traženi obujam je

$$V=V_{ks1}+V_{ks2}-V_1-V_2.$$ $$\begin{aligned} V&=\frac{x\pi}{3}(R^2+r^2+Rr)+\frac{(c-x)\pi}{3}(R^2+r^2+Rr)-\frac{r^2\pi x}{3}-\frac{r^2\pi(c-x)}{3}\\ &=\frac{\pi(R^2+r^2+Rr)}{3}(x+c-x)-\frac{r^2\pi}{3}(x+c-x)\\ &=\frac{c\pi}{3}(R^2+r^2+Rr-r^2)=\frac{c\pi}{3}(R^2+Rr). \end{aligned}$$

Tada je uz $R=2r$

$$V=2r^2c\pi.$$

Izračunajmo $r$ i $c$.

$$c^2=2^2+8^2-2\cdot2\cdot8\cos120^\circ=84$$ $$c=2\sqrt{21}\ \text{cm}.$$

$r$ računamo koristeći površinu trokuta $ABC$.

$$\frac{r\cdot c}{2}=\frac{ab}{2}\sin120^\circ$$ $$r=\frac{2\cdot8\sin120^\circ}{2\sqrt{21}}=\frac4{\sqrt7}\ \text{cm}.$$

Tada je traženi obujam

$$V=2\cdot\frac{16}{7}\cdot2\sqrt{21}\cdot\pi=\frac{64\sqrt{21}\cdot\pi}{7}\ \text{cm}^3.$$