3. Zadatak

Na stranici $AB$ trokuta $ABC$ dana je točka $E$ takva da je $|AE|=1$ i $|EB|=2$ . Neka je točka $D$ na stranici $AC$ takva da je dužina $DE$ paralelna s dužinom $BC$ , a točka $F$ na stranici $BC$ takva da je dužina $EF$ paralelna s dužinom $AC$ . Izračunajte omjer površina četverokuta $CDEF$ i trokuta $ABC$ .

Prvo rješenje.

Službeni dijagram trokuta

Kako je dužina $DE$ paralelna s dužinom $BC$ , trokuti $AED$ i $ABC$ imaju iste kutove pa su slični. Koeficijent sličnosti je

k=\frac{|AE|}{|AB|}=\frac13.

Stoga je omjer njihovih površina

\frac{P_{AED}}{P_{ABC}}=k^2=\frac19.

Kako je dužina $EF$ paralelna s dužinom $AC$ , trokuti $EBF$ i $ABC$ imaju iste kutove, te su slični. Njihov koeficijent sličnosti je

k'=\frac{|BE|}{|AB|}=\frac23.

Stoga je omjer njihovih površina

\frac{P_{EBF}}{P_{ABC}}={k'}^2=\frac49.

\begin{aligned} \frac{P_{CDEF}}{P_{ABC}} &=\frac{P_{ABC}-P_{AED}-P_{EBF}}{P_{ABC}}\\ &=\frac{P_{ABC}-\frac19P_{ABC}-\frac49P_{ABC}}{P_{ABC}}=\frac49. \end{aligned}

Drugo rješenje.

Neka je $\angle ACB=\gamma$ . Tada je

\frac{P_{CDEF}}{P_{ABC}}=\frac{|CD||CF|\sin\gamma}{\frac{|AC||BC|\sin\gamma}{2}}=\frac{2|CD||CF|}{|AC||BC|}.

Zbog paralelnosti zadanih dužina trokuti $AED$ , $EBF$ i $ABC$ imaju sukladne kutove pa su međusobno slični.

Tada iz sličnosti trokuta $EBF$ i $ABC$ slijedi

\frac{|AC|}{|EF|}=\frac{|AB|}{|EB|}=\frac32,

odnosno

|AC|=\frac32|EF|=\frac32|CD|.

Iz sličnosti trokuta $AED$ i $ABC$ slijedi

\frac{|BC|}{|DE|}=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac31,

odnosno

|BC|=3|DE|=3|CF|.

Tada je

\frac{P_{CDEF}}{P_{ABC}}=\frac{2|CD||CF|}{\frac32|CD|\cdot3|CF|}=\frac49.