6. Zadatak

Prvo rješenje.

Apscisa tjemena parabole je jednaka

$$x_T=\frac{2+8}{2}=5.$$

Jednadžba parabole je oblika $y=a(x-2)(x-8)$, odnosno $y=ax^2-10ax+16a$, pri čemu je $a>0$.

Stoga je ordinata tjemena parabole jednaka

$$y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a\cdot16a-100a^2}{4a}=-9a.$$

Dakle, tjeme parabole je točka $T(5,-9a)$, $a>0$.

Iz omjera opsega i površine trokuta $ABT$ dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$\frac{O_{\triangle ABT}}{P_{\triangle ABT}}=\frac43,$$ $$\frac{|AB|+|AT|+|BT|}{\frac12|AB|\cdot|y_T|}=\frac43,$$ $$\frac{6+2\sqrt{9+81a^2}}{27a}=\frac43.$$

Odatle, nakon množenja s $a$, slijedi iracionalna jednadžba

$$\sqrt{9+81a^2}=18a-3,$$

koja nakon kvadriranja prelazi u kvadratnu jednadžbu $243a^2-108a=0$ čija su rješenja $a=0$ i $a=\frac49$.

Budući da je $a>0$, a za $a=\frac49$ jednakost

$$\sqrt{9+81\cdot\left(\frac49\right)^2}=18\cdot\frac49-3$$

je točna, slijedi $a=\frac49$, pa tjeme parabole ima koordinate $T(5,-4)$.

Jednadžba dane parabole jest

$$y=\frac49(x-2)(x-8).$$

Drugo rješenje.

Prema slici iz prvog rješenja, uz oznaku $(x,y)$ za koordinate tjemena, a koristeći dani omjer opsega i površine, slijedi

$$|BT|=\sqrt{y^2+3^2},$$ $$\frac{6+2|BT|}{\frac{|y|\cdot6}{2}}=\frac43,$$ $$\frac{2(3+\sqrt{y^2+3^2})}{3|y|}=\frac43.$$

Dakle, dobivamo iracionalnu jednadžbu

$$2|y|=3+\sqrt{y^2+3^2}.\tag{$\star$}$$

Nakon kvadriranja slijedi

$$(2|y|-3)^2=y^2+9,$$

odnosno

$$3|y|^2-12|y|=0.$$

Budući da je $y\ne0$ i vrijedi $2\cdot4=3+\sqrt{16+9}$, rješenje jednadžbe $(\star)$ jest $|y|=4$.

Odatle, uz dani uvjet da je $y<0$, slijedi $y=-4$ pa su koordinate tjemena $T(5,-4)$.

Tjemeni oblik jednadžbe dane parabole jest $y=a(x-5)^2-4$.

Budući da točka $(2,0)$ pripada paraboli, vrijedi $0=a(2-5)^2-4$ pa je $a=\frac49$, a jednadžba parabole

$$y=\frac49(x-5)^2-4\quad\text{ili}\quad y=\frac49x^2-\frac{40}{9}x+\frac{64}{9}.$$