4. Zadatak

Neka je $a$ duljina stranice nasuprot kutu $\alpha$, a $b$ duljina stranice nasuprot kutu $\beta$ u zadanom trokutu. Zapišemo li izraz $\sin\alpha=2\sin\beta\cos\gamma$ u obliku

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=2\cos\gamma,$$

tada primjenom poučka o sinusima i poučka o kosinusu dobivamo

$$\frac{a}{b}=2\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$$

odnosno

$$\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}.$$

Budući da se radi o trokutu i duljina stranice $b\ne0$, nakon množenja s $ab$ dobivamo

$$a^2=a^2+b^2-c^2,$$

pa je $b^2-c^2=0$, odakle slijedi da je $b=c$.

Stoga je dani trokut jednakokračan, a kutovi nasuprot stranicama duljine $b$ i $c$ su jednaki.

Tada je

$$\beta=\gamma=\frac{86^\circ}{2}=43^\circ,\qquad \alpha=180^\circ-86^\circ=94^\circ.$$