7. Zadatak

Neka je na turniru sudjelovalo $n$ učenika. Nakon što su tijekom natjecanja tri učenika odustala, svaki je od $n-3$ učenika do kraja turnira odigrao točno jednu partiju sa svakim od preostalih.

Dakle, među $n-3$ učenika odigrano je

$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}$$

partija.

Tomu broju treba pribrojiti broj partija $(p)$ u kojima su sudjelovali učenici $A$, $B$ i $C$, prije nego su odustali. Tih je partija moglo biti najviše $2+3+5=10$ i to ukoliko $A$, $B$ i $C$ nisu igrali međusobno.

Budući da su međusobno mogli odigrati maksimalno

$$\frac{3\cdot2}{2}=3$$

partije, broj $p$ može biti 10, 9, 8 ili 7, pa vrijedi

$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}+p=197,\qquad p\in\{10,9,8,7\}.$$

Ako je $p=10$, iz

$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}+10=197$$

dobivamo jednadžbu $(n-3)(n-4)=374$ koja nema rješenja u skupu prirodnih brojeva jer se broj $374=2\cdot11\cdot17$ ne može zapisati kao umnožak dva uzastopna prirodna broja.

Ako je $p=9$, iz

$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}+9=197$$

dobivamo jednadžbu $(n-3)(n-4)=376$ koja nema rješenja u skupu prirodnih brojeva jer se broj $376=2^3\cdot47$ ne može zapisati kao umnožak dva uzastopna prirodna broja.

Ako je $p=8$, iz

$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}+8=197$$

dobivamo jednadžbu $(n-3)(n-4)=378$ koja također nema rješenja u skupu prirodnih brojeva jer se broj $378=2\cdot3^3\cdot7$ ne može zapisati kao umnožak dva uzastopna prirodna broja.

Ako je $p=7$, iz

$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}+7=197$$

dobivamo jednadžbu $(n-3)(n-4)=380$.

Kako je $380=19\cdot20$, zaključujemo da je $n-4=19$, tj. $n=23$.

Dakle, na natjecanju je sudjelovalo 23 učenika.