6. Zadatak

Neka je $\overline{xy}=10x+y$ duljina katete $a$. Tada je duljina hipotenuze $c=\overline{yx}=10y+x$ i redom vrijedi:

$$\begin{aligned} (10x+y)^2+b^2&=(10y+x)^2,\\ 100x^2+20xy+y^2+b^2&=100y^2+20xy+x^2,\\ b^2&=99y^2-99x^2,\\ b^2&=3^2\cdot11(y-x)(y+x). \end{aligned}$$

Kako je s lijeve strane kvadrat prirodnog broja, a $x$ i $y$ su jednoznamenkasti brojevi mora vrijediti da je $y+x=11$, dok $y-x$ mora također biti kvadrat prirodnog broja. Ovo nas vodi na sljedeće slučajeve:

1. $y+x=11$, $y-x=9$

   Rješenje ovog sustava je $y=10$, $x=1$ što ne može biti rješenje zadatka jer je $y$ jednoznamenkasti broj (znamenka).

2. $y+x=11$, $y-x=4$

   Rješenje ovog sustava je $y=\frac{15}{2}$, $x=\frac72$ što ne može biti rješenje zadatka jer su $x$ i $y$ prirodni brojevi (znamenke).

3. $y+x=11$, $y-x=1$

   Rješenje ovog sustava je $y=6$, $x=5$.

Sada je $b^2=3^2\cdot11^2\cdot1$, te je $b=33$.

Prema svemu navedenom radi se o pravokutnom trokutu čije su katete duljina $56$ i $33$, dok mu je hipotenuza duljine $65$.