1. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz osnovne veze $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ te $\cos\alpha=\sin\beta$ slijedi da je

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\sin^2\beta.$$

Nadalje je

$$\sin^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right)^2=\frac{16-8-2\sqrt{12}}{16}=\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2.$$

Tada je $\sin\alpha=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, a

$$\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{6-2}{16}=\frac14.$$

Ukoliko se dobije $\sin\alpha=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$, konačno se rješenje može dobiti i ovako:

$$\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt{(2-\sqrt3)(\sqrt6+\sqrt2)^2}}{8}=\frac{\sqrt{(2-\sqrt3)(8+4\sqrt3)}}{8}=\frac14.$$

Drugo rješenje.

Neka je $a$ duljina katete nasuprot kuta $\alpha$, $b$ duljina katete nasuprot kuta $\beta$ i $c$ hipotenuza danog pravokutnog trokuta. Tada je $\sin\alpha=\frac ac$, $\cos\alpha=\sin\beta=\frac bc$.

Iz $\frac bc=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ slijedi $b=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}c$.

Prema Pitagorinom poučku je

$$a^2=c^2-b^2=c^2\left(1-\frac{(\sqrt6+\sqrt2)^2}{16}\right)=c^2\frac{16-8-2\sqrt{12}}{16}=c^2\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2.$$

Odatle slijedi $a=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}c$, pa je $\sin\alpha=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.

Tada je

$$\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{6-2}{16}=\frac14.$$