3. Zadatak

Uvedemo li supstituciju $\frac{x+2}{x-3}=t$ dobivamo da je $x=\frac{3t+2}{t-1}$, pa iz jednakosti

$$f\left(\frac{x+2}{x-3}\right)=x^2+x+1$$

slijedi

$$f(t)=\left(\frac{3t+2}{t-1}\right)^2+\frac{3t+2}{t-1}+1.$$

Funkciju $f$ možemo pisati i u varijabli $x$. Tada je funkcija $g(x)$ definirana za sve realne brojeve $x$ za koje je $f(x)-1\geq0$, odnosno

$$\left(\frac{3x+2}{x-1}\right)^2+\frac{3x+2}{x-1}=\frac{12x^2+11x+2}{(x-1)^2}\geq0.$$

Ova je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi $12x^2+11x+2\geq0$ uz uvjet $x\neq1$.

Rješenje nejednadžbe $12x^2+11x+2\geq0$ je interval $\left\langle-\infty,-\frac23\right]\cup\left[-\frac14,\infty\right\rangle$, te je prirodno područje definicije funkcije $g$ interval

$$\left\langle-\infty,-\frac23\right]\cup\left[-\frac14,1\right\rangle\cup\langle1,\infty\rangle.$$