5. Zadatak

Neka je $|AB|=x$, $\angle EAC=\varphi$. Primjenom poučka o kosinusu na trokut $ABE$ dobivamo:

$$|AE|^2=|AB|^2+|BE|^2-2\cdot|AB|\cdot|BE|\cos120^\circ=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^\circ=3x^2,$$

pa je $|AE|=x\sqrt3$.

Primjenom poučka o kosinusu na trokut $ABC$ dobivamo:

$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2\cdot|AB|\cdot|BC|\cos120^\circ=x^2+(3x)^2-2\cdot x\cdot3x\cdot\cos120^\circ=13x^2,$$

pa je $|AC|=x\sqrt{13}$.

Primjenom poučka o kosinusu na trokut $AEC$ dobivamo:

$$\cos\varphi=\frac{|AC|^2+|AE|^2-|EC|^2}{2\cdot|AC|\cdot|AE|}=\frac{13x^2+3x^2-4x^2}{2\cdot x\sqrt{13}\cdot x\sqrt3}=\frac{2\sqrt{39}}{13}.$$