7. Zadatak

Graf zadane funkcije je parabola kojoj su nultočke $(0,0)$ i $(2022,0)$.

Prema uvjetu iz zadatka na osi apscisa treba označiti sve točke koje su između nultočaka. To su točke od $(1,0)$ do $(2021,0)$, odnosno $2021$ točka je označena crvenom bojom.

Broj plavih točaka ovisi o uvjetu $y\geq-2023$. Tražimo uvjet na apscise točaka kojima je ordinata veća ili jednaka $2023$. Stoga treba riješiti nejednadžbu

$$-x^2+2022x\geq-2023,$$

odnosno $x^2-2022x-2023\leq0$ što možemo zapisati u obliku umnoška

$$(x+1)(x-2023)\leq0.$$

Rješenje ove kvadratne nejednadžbe je $x\in[-1,2023]$.

Broj traženih cjelobrojnih točaka na paraboli jednak je broju cijelih brojeva iz dobivenog intervala, a to je $2025$.

Od plavih točaka dva vrha možemo odabrati na $\frac{2025\cdot2024}{2}$ načina, a jedan crveni vrh možemo odabrati na $2021$ način.

Odatle je ukupan broj trokuta koji imaju dva plava i jedan crveni vrh jednak

$$\frac{2025\cdot2024}{2}\cdot2021,$$

ali od tog broja moramo oduzeti trokute kojima su dva plava vrha u $(0,0)$ i $(2022,0)$ a treći vrh je jedna od crvenih točaka jer su na istom pravcu. Stoga je ukupan broj trokuta jednak

$$\frac{2025\cdot2024}{2}\cdot2021-2021=2025\cdot1012\cdot2021-2021=4141633279.$$