6. Zadatak

Trokut $ABD$ je jednakokračan trokut i neka je $DE$ njegova visina na osnovicu $AB$. Kut $\angle BDC$ je vanjski kut trokuta $ABD$ i njegova je mjera $2\alpha$.

Tada vrijedi $|BD|=|AD|=5\text{ cm}$, $|ED|=3\text{ cm}$, $|AE|=4\text{ cm}$. Iz trokuta $AED$ slijedi

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad\cos\alpha=\frac45.$$

Analogno iz trokuta $ABC$ slijedi

$$\sin\alpha=\frac m8,\qquad\cos\alpha=\frac{5+n}{8}.$$

Iz posljednje dvije jednakosti slijedi da je

$$\frac m8=\frac35,\qquad\frac{5+n}{8}=\frac45.$$

Tada je

$$m=\frac{24}{5}\text{ cm},\qquad n=\frac75\text{ cm}.$$

Slijedi

$$\sin(2\alpha)=\frac m5=\frac{24}{25}=2\cdot\frac35\cdot\frac45=2\sin\alpha\cos\alpha.$$