7. Zadatak

Prvo rješenje.

Da bi rješenja kvadratne jednadžbe bila racionalna, njezina diskriminanta mora biti kvadrat nekog cijelog broja. Neka je to $k^2$.

$$D=(2m−1)^2−4(m−1)\cdot3=4m^2−16m+13,$$ $$4m^2−16m+13=k^2.$$

Riješimo dobivenu kvadratnu jednadžbu po $m$.

$$\begin{aligned} 4m^2−16m+13−k^2&=0,\\ m_{1,2}&=\frac{16\pm\sqrt{256−16(13−k^2)}}8\\ &=\frac{16\pm\sqrt{48+16k^2}}8\\ &=\frac{16\pm4\sqrt{3+k^2}}8\\ &=\frac{4\pm\sqrt{3+k^2}}2. \end{aligned}$$

Rješenje je cijeli broj samo ako je $3+k^2$ kvadrat nekog cijelog broja, odnosno

$$3+k^2=n^2,$$ $$n^2−k^2=3,$$ $$(n−k)(n+k)=1\cdot3.$$

To je moguće samo za

$$\begin{cases}n−k=\pm1,\\n+k=\pm3\end{cases} \quad\text{ili}\quad \begin{cases}n−k=\pm3,\\n+k=\pm1.\end{cases}$$

Iz ovih sustava i uz uvjet $n^2>k^2$ proizlazi da je $k^2=1$. Tada je $m=1$ ili $m=3$. Za $m=1$ jednadžba nije kvadratna pa je jedino rješenje $m=3$.

Drugo rješenje.

Analogno kao i u prvom rješenju,

$$D=4m^2−16m+13=k^2.$$

Jednadžbu $4m^2−16m+13−k^2=0$ možemo zapisati kao

$$4m^2−16m+16−3−k^2=0,$$ $$(2m−4)^2−k^2=3,$$ $$(2m−4−k)(2m−4+k)=3.$$

Kako su $m$ i $k$ cijeli brojevi, slijedi

$$\begin{cases}2m−4−k=\pm1,\\2m−4+k=\pm3\end{cases} \quad\text{ili}\quad \begin{cases}2m−4−k=\pm3,\\2m−4+k=\pm1.\end{cases}$$

Rješavanjem ovih sustava dobivamo da je $m=1$ ili $m=3$, ali za $m=1$ jednadžba nije kvadratna pa je jedino rješenje $m=3$.