6. Zadatak

Prvo rješenje.

Dana jednadžba ima smisla ako je $5+x\ge0$ i $3+x\ge0$, odnosno ako je $x\ge-3$.

Ako jednadžbu napišemo u obliku

$$\sqrt{5+x}=m-\sqrt{3+x},$$

desna strana mora zadovoljavati sljedeći uvjet

$$m-\sqrt{3+x}\ge0.$$

U tom slučaju kvadriranjem dobivamo

$$5+x=m^2-2m\sqrt{3+x}+3+x$$

Slijedi

$$\sqrt{3+x}=\frac{m^2-2}{2m}\quad(*).$$

Da bi jednadžba imala smisla, mora vrijediti

$$\frac{m^2-2}{2m}\ge0$$

što uz činjenicu da je $m$ pozitivan daje $m\ge\sqrt2$.

Treba još samo provjeriti uvjet

$$\begin{gathered} m-\sqrt{3+x}\ge0.\\ m-\frac{m^2-2}{2m}\ge0,\quad\frac{m^2+2}{2m}\ge0, \end{gathered}$$

a to vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $m$.

Iz $(*)$ slijedi

$$x=\left(\frac{m^2-2}{2m}\right)^2-3,$$

što je sigurno $\ge-3$ pa je ispunjen i početni uvjet $x\ge-3$.

Dakle, rješenje zadatka je $m\in[\sqrt2,+\infty\rangle$.

Drugo rješenje.

Nakon kvadriranja dane jednadžbe dobije se:

$(*)$ $2\sqrt{x^2+8x+15}=m^2-2x-8$ odakle slijedi

$$x=\frac{(m^2-8)^2-60}{4m^2}$$

Jednadžba će imati rješenje ako je desna strana jednadžbe $(*)$ pozitivna ili jednaka 0, tj. $m^2-2x-8\ge0$.

Nakon uvrštavanja dobivenog izraza za $x$ u postavljeni uvjet dobivamo

$$\frac{m^4-4}{2m^2}\ge0.$$

Rješenje ove nejednadžbe je rješenje zadatka, a to je skup $m\in[\sqrt2,+\infty\rangle$.