8. Zadatak

Točka $T$ ove hiperbole dana je s $T(x_0,y_0)=T\left(x_0,\pm\sqrt{x_0^2-a^2}\right)$.

Asimptote hiperbole su: $y=-x$, $y=x$.

Kako su one međusobno okomite, određuju pravokutnik.

Označimo s $d_1$ i $d_2$ udaljenosti točke $T$ od asimptota. Tada je tražena površina dana s $P=d_1d_2$.

Nadalje, udaljenosti točke $T(x_0,y_0)$ od asimptota su

$$d_1=\frac{|x_0+y_0|}{\sqrt2},\quad\text{(od }x+y=0\text{)}$$ $$d_2=\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt2},\quad\text{(od }x-y=0\text{)}$$

pa je tražena površina jednaka

$$P=\frac{|x_0+y_0|}{\sqrt2}\cdot\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt2}=\frac{|x_0^2-y_0^2|}2=\frac{a^2}2,$$

jer je $T$ na hiperboli. Vidimo da površina ne ovisi o izboru točke $T$!