5. Zadatak

Točke presjeka parabole i pravca dobivamo iz jednadžbi:

$$y^2=4x\quad\text{i}\quad y=-2x+12.$$

Odavde je

$$\begin{aligned}(-2x+12)^2&=4x,\\x^2-13x+36&=0,\\x_1=9,\quad x_2&=4,\\S_1(9,-6),\quad&S_2(4,4).\end{aligned}$$

Jednadžbe tangenata parabole su:

$$t_1\quad\ldots\quad y\cdot(-6)=2\cdot(x+9)\implies y=-\frac13x-3\implies k_1=-\frac13,$$ $$t_2\quad\ldots\quad y\cdot4=2\cdot(x+4)\implies y=\frac12x+2\implies k_2=\frac12.$$

Kut $\alpha$ između tangenata određuje se iz relacije

$$\operatorname{tg}\alpha=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|=\frac{\dfrac12+\dfrac13}{1-\dfrac12\cdot\dfrac13}=1,$$

pa je traženi kut jednak $\alpha=45^\circ$.